已知函數(shù)f（x）=ex-1-x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）設g（x）=
1
2
x2，求y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象的公共點個數(shù)．
考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）由已知得f′（x）=ex-1，由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）的最小值．
（2）令h（x）=ex-x-1-
1
2
x2，由已知得h（x）在R上單調增，h（0）=0，由此能求出y=f（x）與y=g（x）有一個公共點．
解答： 解：（1）∵f（x）=ex-1-x，∴f′（x）=ex-1，
由f′（x）=0，得x=0，
x＜0時，f′（x）＜0；x＞0時，f′（x）＞0，
f（x）在（-∞，0）上單調減，在（0，+∞）上單調增，
∴f（x）min=f（0）=0．
（2）ex-1-x=
1
2
x2，
令h（x）=ex-x-1-
1
2
x2，
則h′（x）=ex-1-x，
由（1）問結論知h′（x）＞0恒成立，
∴h（x）在R上單調增，
又∵h（0）=0，
∴y=f（x）與y=g（x）有一個公共點．
點評：本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查兩函數(shù)的交點的個數(shù)的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
1-x2
的定義域為M，g（x）=ln（1+x）的定義域為N，則M∪N=（　�。�
A、{x|x≥-1}
B、{x|x＞-1}
C、{x|1＞x＞-1}
D、{x|1＞x≥-1}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù)．
（1）求b、c的值；
（2）求g（x）在區(qū)間[-3，2]上的最值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知n∈N*，數(shù)列{dn}滿足dn=
3+(-1)n
2
，數(shù)列{an}滿足an=d1+d2+…+d2n
（1）求數(shù)列{an}；
（2）若數(shù)列bn=2n，將數(shù)列{bn}中的第a1項，第a2項，第a3項，…刪去后，剩余的項按從小到大的順序排列構成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前2014項和T2014．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx-1，g（x）=lnx+ax2+x（a∈R），令φ（x）=f（x）+g′（x）．
（1）當a=0時，求φ（x）的極值；
（2）當a＜-2時，求φ（x）的單調區(qū)間；
（3）當-3＜a＜-2時，若對?λ1，λ2∈[1，3]，使得|φ（λ1）-φ（λ2）|＜（m+ln2）a-2ln3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x2+ax+b）•ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．函數(shù)f（x）在x=-
1
2
和x=
3
2
處取得極值．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解方程：lgx+2log10xx=2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=x-
1
x
-alnx（a∈R）．
（1）當a=2時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）有兩個極值點x1和x2，記過點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直線的斜率為k，問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由；
（3）證明：
n
k=2
ln
k-1
k+1
＞
2-n-n2
2n(n+1)
（n∈N*，n≥2）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
4
3
，且an+1=
4(n+1)an
3an+n
（n∈N*）．
（1）求
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
的值；
（2）設bn=
an
n
（n∈N*），用數(shù)學歸納法證明：b1b2b3…bn＜2．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案