Question

（必做題）已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為

 

．
（2）若函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，則t的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得：f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，由于a＞1，得到f′（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由已知條件得，當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，f′（x）=0有唯一解x=0，又函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程f（x）=t±1有三個(gè)根，從而t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t即得．

解答： 解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，
f′（x）=lna•a^x+2x-lna
=lna（a^x-1）+2x；
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
（2）當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，因?yàn)閒′（0）=0，且f′（x）在R上單調(diào)遞增，
故f′（x）=0有唯一解x=0；
所以x，f'（x），f（x）的變化情況如表所示：

又函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，所以方程f（x）=t±1有三個(gè)根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t=2．
故答案為：（0，+∞），2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)的問題，屬于中檔題．