Question

16．如圖，某單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑AB=a的半圓形空地，△ABC以外地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQMN為一水池，其余的地方種花，設(shè)∠BAC=θ，△ABC的面積為S₁，正方形PQMN的面積為S₂．
（Ⅰ）試用a，θ表示S₁、S₂；
（Ⅱ）當(dāng)a固定θ變化時，求θ為何值時，$\frac{S_1}{S_2}$取得最小值？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）據(jù)題知三角形ABC為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積S₁；設(shè)正方形PQRS的邊長為x，利用三角函數(shù)分別表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}$，可設(shè)t=sin2θ來化簡求出S₁與S₂的比值，利用三角函數(shù)的增減性求出比值的最小值即可求出此時的θ

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
S₁=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$a²sinθcosθ，
設(shè)正方形的邊長為x則 BP=$\frac{x}{sinθ}$，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得$\frac{x}{sinθ}$+xcosθ=acosθ，故 x=$\frac{asinθcosθ}{1+sinθcosθ}$，
所以 S₂=x²=${（\frac{asinθcosθ}{1+sinθcosθ}）}^{2}$．
（2）$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{（1+sinθcosθ）}^{2}}{sinθcosθ}$=$\frac{{（1+\frac{1}{2}sin2θ）}^{2}}{sin2θ}$=$\frac{1}{sin2θ}$+$\frac{1}{4}$sin2θ+1，（8分）
令t=sin2θ，因為 0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
所以0＜2θ＜π，則t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}$=$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{4}$t+1=g（t），g′（t）=-$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{1}{4}$＜0，
所以函數(shù)g（t）在（0，1]上遞減，（11分）
因此當(dāng)t=1時g（t）有最小值 g（t）min=g（1）=$\frac{9}{4}$，
此時 sin2θ=1，θ=$\frac{π}{4}$所以當(dāng) θ=$\frac{π}{4}$時，$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}$，最小值為 $\frac{9}{4}$．

點評 考查學(xué)生會根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)關(guān)系的能力，以及在實際問題中建立三角函數(shù)模型的能力．