Question

4．拋物線y²=-12x的準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于$3\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的方程算出其準(zhǔn)線方程為x=3，由雙曲線的方程算出漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，從而得到它們的交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式算出△OMN的面積，可得答案．

解答 解：∵拋物線方程為y²=-12x，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（-3，0），準(zhǔn)線為x=3．
又∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵直線x=3與直線y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x相交于點(diǎn)M（3，$\sqrt{3}$），N（3，-），
∴三條直線圍成的三角形為△MON，以MN為底邊、O到MN的距離為高，
可得其面積為S=$\frac{1}{2}$×|MN|×3=$\frac{1}{2}$×[$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$）]×3=3$\sqrt{3}$．
故答案為：$3\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題給出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形，求三角形的面積．著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．