Question

已知⊙C1：(x+2

5

)2+y2=4，⊙C2：(x-2

5

)2+y2=4，
（1）若動圓M與⊙C₁內切，與⊙C₂外切，求動圓圓心M的軌跡E的方程；
（2）若直線l：y=kx+1與軌跡E有兩個不同的交點，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用,軌跡方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據兩圓外切和內切的判定，圓心距與兩圓半徑和差的關系，設出動圓半徑為r，消去r，根據圓錐曲線的定義，即可求得動圓圓心M的軌跡，進而可求其方程．
（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y得到x的方程，運用韋達定理和判別式大于0，注意有兩個負根的條件，解不等式組，即可得到k的范圍．

解答： 解：（1）設動圓圓心M（x，y），半徑為r，
∵圓M與⊙C1：(x+2

5

)2+y2=4內切，與⊙C2：(x-2

5

)2+y2=4外切，
∴動圓M包含圓C₁，∴|MC₁|=r-2，|MC₂|=r+2，
∴|MC₂|-|MC₁|=4＜4

5

，
由雙曲線的定義，M的軌跡為以C₁，C₂為焦點的雙曲線的左支，
可得a=2，c=2

5

，則b²=c²-a²=16，
∴動圓圓心M的軌跡方程：

x2

4

-

y2

16

=1（x＜0）；
（2）將直線l：y=kx+1代入雙曲線方程，消去y整理得，
（4-k²）x²-2kx-17=0，①
由于直線l：y=kx+1與軌跡E有兩個不同的交點，
則①有兩個不相等的負根，
即有△＞0，且x₁+x₂＜0，且x₁x₂＞0，
即4k²+68（4-k²）＞0，且

2k

4-k2

＜0，且

-17

4-k2

＞0，
解得2＜k＜

17

2

．
即k的取值范圍是（2，

17

2

）．

點評：本題考查兩圓的位置關系及判定方法和雙曲線的定義和標準方程，要注意雙曲線方程中三個參數的關系：b²=c²-a²，同時考查直線與雙曲線的位置關系，注意聯(lián)立方程組，消去未知數，運用韋達定理和判別式解題，屬中檔題．