Question

設(shè)函數(shù)f（x）=3cos（2x+

π

3

），g（x）=

1

3

f（x）+sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在△ABC中，B為銳角，g（

B

2

）=-

1

4

，

m

=（1，1-2cosA），

n

=（1，cosA），且

m

∥

n

，求sinC．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,平行向量與共線向量,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在△ABC中，B為銳角，g（

B

2

）=-

1

4

，代入求解B，根據(jù)

m

∥

n

，求出cosA，利用兩角和的正弦公式即可求sinC．

解答： 解：（1）∵f（x）=3cos（2x+

π

3

），
∴函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，當(dāng)cos（2x+

π

3

）=1時，函數(shù)取得最大值此時f（x）=3，
即函數(shù)f（x）的最小正周期為π和最大值3；
（2）g（x）=

1

3

f（x）+sin²x=g（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x=cos2xcos

π

3

-sinx2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x，
在△ABC中，B為銳角，g（

B

2

）=

1

2

-

3

2

sinB=-

1

4

，即sinB=

3

2

，
∴B=

π

3

，
∵

m

=（1，1-2cosA），

n

=（1，cosA），且

m

∥

n

，
∴1-2cosA=cosA，即cosA=

1

3

，sinA=

2 3

3

則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2 3

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

3

2

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值以及最小正周期的求法以及兩角和差的三角函數(shù)公式，要求熟練掌握相應(yīng)的公式是解決本題的關(guān)鍵．．