Question

若A₁，A₂，…，A_m為集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N^*）的子集，且滿足兩個條件：
①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
②對任意的{x，y}⊆A，至少存在一個i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}．則稱集合組A₁，A₂，…，A_m具有性質P．
如圖，作n行m列數(shù)表，定義數(shù)表中的第k行第l列的數(shù)為a_ki=

1(k∈Ai) 0(k∉Ai)

a11	a12	…	a1m
a21	a22	…	a2m
?	?	?	?
an1	an2	…	anm

（Ⅰ）當n=4時，判斷下列兩個集合組是否具有性質P，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由；
集合組1：A₁={1，3}，A2={2，3}，A3={4}；集合組2：A1={2，3，4}，A2={2，3}，A3={1，4}．
（Ⅱ）當n=7時，若集合組A₁，A₂，A₃具有性質P，請先畫出所對應的7行3列的一個數(shù)表，再依此表格分別寫出集合A₁，A₂，A₃；
（Ⅲ）當n=100時，集合組A₁，A₂，…，A_t是具有性質P且所含集合個數(shù)最小的集合組，求t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的個數(shù)）

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)集合組的性質進行判斷即可；
（Ⅱ）結合表格進行求解；
（Ⅲ）結合數(shù)列的求和公式進行求解．

解答： 解：（Ⅰ）集合組1具有性質P．
所對應的數(shù)表為：A₁={1，3}，A₂={2，3}，A₃={4}；
集合組2不具有性質P．
因為存在{2，3}⊆{1，2，3，4}，
有A₀：0，1，1，3，0，0，
與對任意的A₁：1，0，1，3，0，0，都至少存在一個A₂：2，1，2，0，0，0，有A₃：3，0，2，0，0，0或A₄：4，1，0，0，0，0矛盾，所以集合組A₅：5，0，0，0，0，0不具有性質A₄：4，0，0，0，0．
111111111111000000000
（Ⅱ）A₃：3，1，0，0，0．
（注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應的集合組也不同）
（Ⅲ）設A₂：2，0，2，0，0所對應的數(shù)表為數(shù)表A₁：1，1，2，0，0，
因為集合組A₀：0，0，1，3，0為具有性質A₀：a₀，a₁，…，a_n的集合組，
所以集合組a_k=0滿足條件①和②，
由條件①：a_i＞0（0≤i≤k-1），
可得對任意T^-1，都存在T^-1有A₀，
所以{a_n}，即第a_i+i行不全為0，
所以由條件①可知數(shù)表i中任意一行不全為0．…
由條件②知，對任意的{a_n}，都至少存在一個P，使{a_n}或P，
所以{a_n}一定是一個1一個0，
即第{b_n}行與第{b_n}行的第b₁，b₂，b₃，…，b_n列的兩個數(shù)一定不同．
所以由條件②可得數(shù)表a₁，a₂，a₃，…，a_n中任意兩行不完全相同．
因為由{b_n}所構成的P元有序數(shù)組共有{a_n}個，去掉全是P的{a_n}元有序數(shù)組，共有n個，
又因數(shù)表Sn=

n

3

(n2-1)中任意兩行都不完全相同，
又當滿足條件P時，由{b_n}所構成的A元有序數(shù)組共有n個，去掉全是n∈[12，m²]（m≥5）的數(shù)組，共A個，
選擇其中的P個數(shù)組構造n∈[m²+1，（m+1）²]行A列數(shù)表，則數(shù)表對應的集合組滿足條件①②，即具有性質P．
所以n≥2．
因為a_n=S_n-S_n-1等于表格中數(shù)字1的個數(shù)，
所以，要使=

n

3

(n2-1)-

n-1

3

[(n-1)2-1]=n2-n取得最小值，只需使表中1的個數(shù)盡可能少，
而a₁=0時，在數(shù)表an=n2-n(n∈N*)中，ai+i=i2(i=1，2，3，…)的個數(shù)為{a_n}的行最多P行；P的個數(shù)為{b_n}的行最多P行；P的個數(shù)為n=m²+j，1≤j≤2m+1的行最多（m+2）²-（m²+j）=4m+4-j行；h=4m+4-j-1的個數(shù)為1≤j≤2m+1，m≥5的行最多h=4m+4-j-1≥2m+2≥12行；
因為上述共有m²-h=m²-4m-4+j+1≥m²-4m-2行，
所以還有m²-4m-2=（m-2）²-6＞0行各有h＜m²個h∈[12，m²]，
所以此時表格中最少有n∈[12，m²]（m≥5）個{a_n}．
所以P的最小值為：4m+4．

點評：本題結合集合的知識，綜合考查了數(shù)列的基本性質、數(shù)列的運算等知識，屬于中檔題．考查比較綜合．