Question

若函數(shù)f（x）=x³-3x+m有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，-1）
C．[-2，2]
D．（-2，2）

Answer 1

【答案】分析：已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個極值點，并且極小值小于0，極大值大于0，求解即可．
解答：解：由函數(shù)f（x）=x³-3x+m有三個不同的零點，
則函數(shù)f（x）有兩個極值點，極小值小于0，極大值大于0．
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以函數(shù)f（x）的兩個極值點為 x₁=1，x₂=-1．
由于x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0； x∈（-1，1）時，f′（x）＜0； x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)的極小值f（1）=m-2和極大值f（-1）=m+2．
因為函數(shù)f（x）=x³-3x+m有三個不同的零點，
所以 ，解之得-2＜m＜2．
故選D．
點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力．