【題目】設(shè)有二元關(guān)系,已知曲線.

1)若時(shí),正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線上,求正方形的面積;

2)設(shè)曲線軸的交點(diǎn)是,拋物線軸的交點(diǎn)是,直線與曲線交于,直線與曲線交于,求證直線過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo);

3)設(shè)曲線軸的交點(diǎn)是,,可知?jiǎng)狱c(diǎn)在某確定的曲線上運(yùn)動(dòng),曲線上與上述曲線時(shí)共有4個(gè)交點(diǎn),其坐標(biāo)分別是、、,集合的所有非空子集設(shè)為,將中的所有元素相加(若只有一個(gè)元素,則和是其自身)得到255個(gè)數(shù),求所有正整數(shù)的值,使得是一個(gè)與變數(shù)及變數(shù)均無(wú)關(guān)的常數(shù).

【答案】14;(2)直線過(guò)定點(diǎn);(3是奇數(shù)時(shí),是一個(gè)與變數(shù)及變數(shù)均無(wú)關(guān)的常數(shù).

【解析】

1)令,解得,即表示兩條平行直線,這兩條平行線間的距離2為正方形的邊長(zhǎng),由此可得正方形面積;

2)曲線中,令,則,設(shè),由韋達(dá)定理得,寫出的方程求得的坐標(biāo),從而得直線的方程(只含有參數(shù)),觀察方程可得直線所過(guò)定點(diǎn);

3)令,則,則,即點(diǎn)在曲線上,而曲線表示兩條平行線且斜率為1,因此可知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,從而可得,同理.于是有,有,則時(shí),,對(duì)其他244個(gè)子集配對(duì):,滿足,,這樣的集合“對(duì)”共有127對(duì)。

以下證明:對(duì)的元素和的元素和,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),恒有,為此可用數(shù)學(xué)歸納法證明能夠整除,從而得結(jié)論.

1)令,得,即表示兩條平行直線,這兩條平行線間的距離為,此為正方形的邊長(zhǎng),正方形的面積為4。

2)在曲線中,令,則,設(shè),由韋達(dá)定理得,由題意知,直線方程為,方程為,

,解得,同理可得,∵,∴,∴直線方程為,化簡(jiǎn)為:,時(shí),,故直線過(guò)定點(diǎn)

3)令,則,則,即點(diǎn)在曲線上,又曲線恒表示兩條平行直線,如圖,

關(guān)于直線對(duì)稱,則,即,同理,則,集合的所有非空子集設(shè)為,取,顯然,則時(shí),,對(duì)的其他子集,我們把它們配成集合“對(duì)”,使得,,這樣的集合“對(duì)”共有127對(duì)。

以下證明:對(duì)的元素和的元素和,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),恒有,為此先證明:是奇數(shù)時(shí),則能夠整除

用數(shù)學(xué)歸納法證之:

(i)當(dāng)時(shí)顯然成立,

(ii)假設(shè)是奇數(shù))成立,即能夠整除,則當(dāng)時(shí),,

由歸納假設(shè)知此式能被整除,

由(i)(ii)可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí),能夠整除

為奇數(shù)時(shí),(其中是關(guān)于的整式),

,,∴對(duì)每一個(gè)集合“對(duì)”,,

則一定有=0,,于是是常數(shù).

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方案二:第一天回報(bào)元,以后每天比前一天多回報(bào)元;

方案三:第一天回報(bào)元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.

記三種方案第天的回報(bào)分別為,,.

1)根據(jù)數(shù)列的定義判斷數(shù)列,,的類型,并據(jù)此寫出三個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

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