【題目】已知拋物線Γ的準(zhǔn)線方程為.焦點(diǎn)為.

1)求證:拋物線Γ上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程:

2)請(qǐng)求出拋物線Γ的對(duì)稱性和范圍,并運(yùn)用以上方程證明你的結(jié)論;

3)設(shè)垂直于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

【答案】1)證明見(jiàn)解析(2)關(guān)于對(duì)稱.證明見(jiàn)解析(3(在拋物線內(nèi))

【解析】

1)由拋物線的定義可得|PF|ddP到準(zhǔn)線的距離),運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式,化簡(jiǎn)可得所求軌跡方程;

2)由拋物線的方程的特點(diǎn),考慮點(diǎn)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)的特征和對(duì)稱軸與準(zhǔn)線和拋物線的交點(diǎn)的關(guān)系,以及直線和拋物線相切的特點(diǎn),可得所求范圍;

3)設(shè)垂直于x軸的直線為xt,代入拋物線的方程x22xy+y28x8y0,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,以及參數(shù)方程化為普通方程可得所求軌跡方程.

1)拋物線Γ的準(zhǔn)線方程為x+y+20,焦點(diǎn)為F1,1),

拋物線Γ上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y),由拋物線的定義可得|PF|ddP到準(zhǔn)線的距離),即為,兩邊平方化簡(jiǎn)可得x22xy+y28x8y0;

2)拋物線關(guān)于yx對(duì)稱,頂點(diǎn)為(0,0),范圍為x1,y1,

由方程x22xy+y28x8y0

設(shè)拋物線上任一點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線yx對(duì)稱的點(diǎn)為(yx),滿足原方程,

則拋物線關(guān)于直線yx對(duì)稱;

由直線y1x1yx,聯(lián)立x+y+20,解得xy=﹣1

可得拋物線的頂點(diǎn)為(0,0);

x=﹣1x22xy+y28x8y0聯(lián)立可得切點(diǎn)為(﹣1,3),

同樣由y=﹣1x22xy+y28x8y0聯(lián)立可得切點(diǎn)為(3,﹣1),

可得拋物線的范圍為x1,y1;

3)設(shè)垂直于x軸的直線為xt,代入拋物線的方程x22xy+y28x8y0,

可得t2﹣(2t+8y+ t28t0

設(shè)At,y1),Bt,y2),可得y1+y22t+8,

AB的中點(diǎn)為(t,t+4),

AB的中點(diǎn)的軌跡方程為直線yx+4(在拋物線內(nèi)).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.1B.2C.3D.4

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