Question

6．過拋物線y²=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是原點，若|AF|=4，則△AOB的面積為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的定義和性質(zhì)，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），可以求出A坐標，再求出直線AB的方程，再求出點B的坐標，最后利用三角形的面積公式加以計算，即可得到△AOB的面積．

解答 解：根據(jù)題意，拋物線y²=4x的焦點為F（1，0）．準線方程為x=-1，
設(shè)不妨設(shè)A在第一象限，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵|AF|=4
∴x₁+1=4，
解得x₁=3，
∴y₁=2$\sqrt{3}$，
∴直線AB的斜率為$\frac{2\sqrt{3}}{3-1}$=$\sqrt{3}$
∴直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x}\\{y=\sqrt{3}（x-1）}\end{array}\right.$，整理可得3x²-10x+3=0，
解得x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$
當x₂=$\frac{1}{3}$時，y₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
因此△AOB的面積為：
S=_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁|+$\frac{1}{2}$|OF|•|y₂|=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：C

點評 本題給出拋物線經(jīng)過焦點F的弦AB，在已知AF長的情況下求△AOB的面積．著重考查了拋物線定義與標準方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．