Question

19．已知$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，且$|\overrightarrow a|=2$，則$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的正射影的數量為$-\frac{{\sqrt{33}+1}}{8}$．

Answer 1

分析 $（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，可得$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$•$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=0，可得$|\overrightarrow|$，即可得出．

解答 解：∵$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$•$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=0，
∵$|\overrightarrow{a}|$=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$cos120°=-$|\overrightarrow|$，
∴4+$|\overrightarrow|$-2$|\overrightarrow{|}^{2}$=0，
解得$|\overrightarrow|$=$\frac{\sqrt{33}+1}{4}$．
∴$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的正射影的數量=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$=$|\overrightarrow|cos12{0}^{°}$=$-\frac{{\sqrt{33}+1}}{8}$，
故答案為：$-\frac{{\sqrt{33}+1}}{8}$．

點評 本題考查了向量垂直與數量積的關系、數量積運算性質、向量的投影，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．