Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$x³+x²+ax+1在（-1，0）上有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜0 時，f（x）＞$\frac{11}{12}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)知方程2x²+2x+a=0在（-1，0）上有兩不等實根，可得$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=a＞0}\\{g（0）=a＞0}\\{g（-\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}+（-1）+a＜0}\end{array}\right.$，即可求出實數(shù)a的取值范圍；
（2）確定ax₂＞$\frac{1}{2}$x₂，可得f（x₂）=$\frac{2}{3}$x₂³+x₂²+ax₂+1＞$\frac{2}{3}$x₂³+x₂²+x₂+1，設(shè)h（x）=$\frac{2}{3}$x³+x²+$\frac{1}{2}$x+1，x∈（-$\frac{1}{2}$，0），h（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）遞增，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{2}{3}$x³+x²+ax+1，
∴f′（x）=2x²+2x+a，由題意知方程2x²+2x+a=0在（-1，0）上有兩不等實根，
設(shè)g（x）=2x²+2x+a，其圖象的對稱軸為直線x=-$\frac{1}{2}$，
故有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=a＞0}\\{g（0）=a＞0}\\{g（-\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}+（-1）+a＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
（2）證明：由題意知x₂是方程2x²+2x+a=0的大根，從而x₂∈（-$\frac{1}{2}$，0），
由于0＜a＜$\frac{1}{2}$，∴ax₂＞$\frac{1}{2}$x₂，
∴f（x₂）=$\frac{2}{3}$x₂³+x₂²+ax₂+1＞$\frac{2}{3}$x₂³+x₂²+x₂+1．
設(shè)h（x）=$\frac{2}{3}$x³+x²+$\frac{1}{2}$x+1，x∈（-$\frac{1}{2}$，0），
h′（x）=2（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$＞0，
∴h（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）遞增，
∴h（x）＞h（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{12}$，即f（x₂）＞$\frac{11}{12}$成立．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．