Question

14．已知函數(shù)f（x）=2x+ax²+bcosx在點$（\frac{π}{2}，f（\frac{π}{2}））$處的切線方程為$y=\frac{3π}{4}$．
（Ⅰ）求a，b的值，并討論f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的增減性；
（Ⅱ）若f（x₁）=f（x₂），且0＜x₁＜x₂＜π，求證：$f'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜0$．
（參考公式：$cosθ-cosφ=-2sin\frac{θ+φ}{2}sin\frac{θ-φ}{2}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數(shù)，利用函數(shù)f（x）=2x+ax²+bcosx在點$（\frac{π}{2}，f（\frac{π}{2}））$處的切線方程為$y=\frac{3π}{4}$，建立方程，求a，b的值，利用導數(shù)的正負討論f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的增減性；
（Ⅱ）令${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，得$2-\frac{2}{π}{x_0}-\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$，得$2-\frac{2}{π}{x_0}=\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，證明sinx₀＞0，故f'（x₀）＜0，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：由題意知f'（x）=2+2ax-bsinx，∴$\left\{\begin{array}{l}f'（\frac{π}{2}）=0\\ f（\frac{π}{2}）=\frac{3π}{4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{π}\\ b=1\end{array}\right.$
故$f（x）=2x-\frac{1}{π}{x^2}+cosx$，$f'（x）=2-\frac{2}{π}x-sinx$．
當$0≤x≤\frac{π}{2}$時，f'（x）為減函數(shù)，且$f'（\frac{π}{2}）=0$，
∴f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（Ⅱ）證明：由f（x₁）=f（x₂），得$2{x_1}-\frac{{{x_1}^2}}{π}+cos{x_1}=2{x_2}-\frac{{{x_2}^2}}{π}+cos{x_2}$，
所以$2（{x_1}-{x_2}）-\frac{1}{π}（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）+cos{x_1}-cos{x_2}=0$，
兩邊同除以x₁-x₂，得$2-\frac{1}{π}（{x_1}+{x_2}）+\frac{{cos{x_1}-cos{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$，
所以$2-\frac{1}{π}（{x_1}+{x_2}）+\frac{{-2sin\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$，
令${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，得$2-\frac{2}{π}{x_0}-\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$，
得$2-\frac{2}{π}{x_0}=\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$．
因為$f'（x）=2-\frac{2x}{π}-sinx$，
所以$f'（{x_0}）=2-\frac{2}{π}{x_0}-sin{x_0}=\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}-sin{x_0}=sin{x_0}•（\frac{{sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}-1）$，
因為$\frac{{sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}=\frac{{sin\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}}}{{\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}}}$，
又$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}∈（0，\frac{π}{2}）$，易知$0＜sin\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}$，所以$\frac{{sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}-1＜0$，
又x₀∈（0，π），所以sinx₀＞0，故f'（x₀）＜0，得$f'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜0$．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，難度大．