Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}+alnx（a為參數(shù)）$
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）求證：${（1+\frac{1}{n}）^n}＜e＜{（1+\frac{1}{n}）^{n+1}}（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 （1）a=1時(shí)，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）分情況進(jìn)行討論：a≤0時(shí)易判斷單調(diào)性，由單調(diào)性可得最小值；a＞0時(shí)，按照極值點(diǎn)$\frac{1}{a}$與區(qū)間（0，e]的位置關(guān)系再分兩種情況討論，由單調(diào)性可求；
（3）對(duì)（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜e＜（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹兩邊取對(duì)數(shù)，可整理為 $\frac{1}{n+1}$＜ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$，令x=1+$\frac{1}{n}$，只要證1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1，（1＜x≤2），左邊不等式可由（1）問(wèn)結(jié)論得到；右邊不等式通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可證明．

解答 解：（1）$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{a}{x}=\frac{ax-1}{x^2}$（x＞0），
當(dāng)a=1時(shí)，$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，令f'（x）=0，得x=1，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）變化如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；
（2）①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上遞減，${y_{min}}=f（e）=\frac{1}{e}+a$
②當(dāng)$\frac{1}{a}≥e$時(shí)，即$0＜a≤\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上遞減，${y_{min}}=f（e）=\frac{1}{e}+a$
③當(dāng)$0＜\frac{1}{a}＜e$時(shí)，即$a＞\frac{1}{e}$時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）變化如下：

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，e）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

所以ymin=f（$\frac{1}{a}$）=a+aln$\frac{1}{a}$，
綜上，$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}a+\frac{1}{e}，（a≤\frac{1}{e}）\\ a+aln\frac{1}{a}，（a＞\frac{1}{e}）\end{array}\right.$；
（3）對(duì)${（1+\frac{1}{n}）^n}＜e＜{（1+\frac{1}{n}）^{n+1}}$兩邊取對(duì)數(shù)得，
$nln（1+\frac{1}{n}）＜1＜（n+1）ln（1+\frac{1}{n}）$，即$\frac{1}{n+1}＜ln（1+\frac{1}{n}）＜\frac{1}{n}$，
只需證 $\frac{1}{n+1}＜ln（1+\frac{1}{n}）＜\frac{1}{n}$，令$x=1+\frac{1}{n}$，
只需證$1-\frac{1}{x}＜lnx＜x-1（1＜x≤2）$，
證明如下：由（1）知 a=1時(shí)，$f（x）=lnx+\frac{1}{x}（x＞0）$的最小值為f（1），
所以$f（x）=lnx+\frac{1}{x}≥f（1）=1$，
即 $1-\frac{1}{x}≤lnx$，又因?yàn)?＜x≤2，上式等號(hào)取不到，所以$1-\frac{1}{x}＜lnx$①，
令g（x）=x-lnx-1（1＜x≤2），則$g'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}＞0$，
∴g（x）在1＜x≤2上是增函數(shù)，∴g（x）＞g（1）=0②，
綜合①②得$\frac{x}{x+1}＜ln（x+1）＜x（1＜x≤2）$，
即$\frac{1}{n+1}＜ln（1+\frac{1}{n}）＜\frac{1}{n}$所以原命題得證．

點(diǎn)評(píng) 該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、證明不等式，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，解決（3）問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)去對(duì)數(shù)對(duì)原不等式進(jìn)行合理變形．