Question

10．二項(xiàng)式${（{\frac{x}{{\sqrt{2}}}-y}）^8}$的展開(kāi)式中，x⁴y⁴與x²y⁶項(xiàng)的系數(shù)之和是$\frac{63}{2}$（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析 寫(xiě)出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，利用冪指數(shù)求解x⁴y⁴與x²y⁶項(xiàng)的系數(shù)之和．

解答 解：${（\frac{x}{{\sqrt{2}}}-y）^8}$的展開(kāi)式的通項(xiàng)為${T_{r+1}}=C_8^r{（\frac{x}{{\sqrt{2}}}）^{8-r}}{（-y）^r}=\frac{{{{（-1）}^r}}}{{{{（\sqrt{2}）}^{8-r}}}}C_8^r{x^{8-r}}{y^r}$
當(dāng)r=4時(shí)，可得x⁴y⁴的系數(shù)為$\frac{{{{（-1）}^4}}}{{{{（\sqrt{2}）}^{8-4}}}}C_8^4=\frac{35}{2}$；
當(dāng)r=6時(shí)，可得x²y⁶的系數(shù)為$\frac{{{{（-1）}^6}}}{{{{（\sqrt{2}）}^{8-6}}}}C_8^6=14$；
所以x⁴y⁴與x²y⁶的系數(shù)之和是$\frac{35}{2}+14=\frac{63}{2}$．
故答案為：$\frac{63}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，系數(shù)的性質(zhì)的求法，考查計(jì)算能力．