Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），

且 ，

∴f（x）是奇函數(shù)

（2）解：f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，證明如下：

證法一：

設(shè)2≤x1＜x2，

∴ ，

∵x2＞x1，且x1x2＞4，

∴

∴f（x1）＜f（x2），

即證f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增

證法二：

∵ ，

當(dāng)x∈[2，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，

即f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增

【解析】（1）由 ，可得f（x）是奇函數(shù)；（2）f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，證法一：作差，利用單調(diào)性的定義可證明；證法二：求導(dǎo)，可證明．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性，以及對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解，了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．