Question

11．如圖，已知直線l：x+$\sqrt{3}$y-c=0（c＞0）為公海與領(lǐng)海的分界線，一艘巡邏艇在O處發(fā)現(xiàn)了北偏東60°海面上A處有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接應(yīng)的走私海輪B航行，以使上海輪后逃竄．已知巡邏艇的航速是走私船航速的2倍，且兩者都是沿直線航行，但走私船可能向任一方向逃竄．
（1）如果走私船和巡邏船相距6海里，求走私船能被截獲的點(diǎn)的軌跡；
（2）若O與公海的最近距離20海里，要保證在領(lǐng)海內(nèi)捕獲走私船（即不能截獲走私船的區(qū)域與公海不想交）．則O，A之間的最遠(yuǎn)距離是多少海里？

Answer 1

分析 （1）設(shè)截獲點(diǎn)為P（x，y），根據(jù)|OP|=2|AP|列方程化簡即可；
（2）設(shè)|OA|=t，求出截獲點(diǎn)軌跡方程，根據(jù)直線與圓不相交列不等式得出t的范圍即可得出|OA|的最大值．

解答 解：（1）由題意知點(diǎn)A（3$\sqrt{3}$，3），設(shè)走私船能被截獲的點(diǎn)為P（x，y），
則|OP|=2|AP|，
即$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-3\sqrt{3}）^{2}+（y-3）^{2}}$，整理得：（x-4$\sqrt{3}$）²+（y-4）²=16．
∴走私船能被截獲的點(diǎn)的軌跡是以（4$\sqrt{3}$，4）為圓心，以4為半徑的圓．
（2）由題意得$\frac{c}{2}$=20，即c=40．∴直線l的方程為x+$\sqrt{3}$y-40=0．
設(shè)|OA|=t，則A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，$\frac{1}{2}$t）（t＞0），
設(shè)走私船能被截獲的點(diǎn)為P（x，y），則|OP|=2|AP|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-\frac{\sqrt{3}}{2}t）^{2}+（y-\frac{1}{2}t）^{2}}$，
整理得：（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t）²+（y-$\frac{2}{3}$t）²=$\frac{4}{9}{t}^{2}$，
∴走私船能被截獲的點(diǎn)的軌跡是以C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，$\frac{2}{3}t$）為圓心，以$\frac{2}{3}t$為半徑的圓．
若保證在領(lǐng)海內(nèi)捕獲走私船，則圓心C到直線l的距離d≥$\frac{2}{3}t$．
∴$\frac{|\frac{2\sqrt{3}}{3}t+\frac{2\sqrt{3}}{3}t-40|}{2}$≥$\frac{2}{3}$t，
解得：t≤$\frac{30}{\sqrt{3}+1}$=15（$\sqrt{3}$-1），
∴O，A之間的最遠(yuǎn)距離是15（$\sqrt{3}$-1）海里．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．