Question

14．用數(shù)學歸納法證明不等式$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n+1}$≥$\frac{25}{24}$對一切正整數(shù)n都成立．

Answer 1

分析 先驗證n=1時不等式成立，再假設n=k時不等式成立，推導n=k+1時不等式也成立即可．

解答 證明：n=1時，左側=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{13}{12}$＞$\frac{25}{24}$，
∴n=1時，不等式成立．
假設n=k時，不等式成立，即$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+$…+$\frac{1}{3k+1}$≥$\frac{25}{24}$，
則n=k+1時，左側=$\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}$+…$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}$≥$\frac{25}{24}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}$-$\frac{1}{k+1}$
=$\frac{25}{24}$+$\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+4}-\frac{2}{3k+3}$=$\frac{25}{24}+$$\frac{2}{（3k+2）（3k+3）（3k+4）}$＞$\frac{25}{24}$，
∴當n=k+1時，不等式成立．
所以不等式$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n+1}$≥$\frac{25}{24}$對一切正整數(shù)n都成立．

點評 本題考查了數(shù)學歸納法證明，應熟練掌握證明步驟，屬于中檔題．