Question

3．如圖四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，AB=$\sqrt{2}$，PA=BC=1，F(xiàn)是BC的中點．
（1）求證：DA⊥平面PAC；
（2）在線段PD上找一點G，使CG∥面PAF，說明點G位置并求三棱錐A-CDG的體積．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AD，結(jié)合AD⊥AC即可得出AD⊥平面PAC；
（2）取PD的中點G，PA的中點E，連結(jié)CG，EG，EF．則可證四邊形EGCF為平行四邊形，故而CG∥EF，從而CG∥平面PAF，利用V_A-CDG=V_G-ACD求出棱錐的體積．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°，即AD⊥AC．
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴AD⊥平面PAC．
（2）取PD的中點G，PA的中點E，連結(jié)CG，EG，EF．
∵EG是△PAD的中位線，
∴EG∥A，EG=$\frac{1}{2}$AD，
又F為BC的中點，BC∥AD，
∴CF=$\frac{1}{2}$AD，CF∥AD．
∴EG∥CF，EG=CF，
∴四邊形EGCF是平行四邊形，
∴CG∥EF，又EF?平面PAF，CG?平面PAF，
∴CG∥平面PAF．
∴當(dāng)G為PD中點時，CG∥平面PAF．
∵AB=$\sqrt{2}$，BC=1，AC⊥BC，∴AC=1，
∴V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$，
∵G是PD的中點，
∴V_A-CDG=V_G-ACD=$\frac{1}{2}$V_P-ACD=$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．