Question

如圖，A，B，C為⊙O上的三個點，AD是∠BAC的平分線，交⊙O于點D，過B作⊙O的切線交Ad的延長線于點E．
（Ⅰ）證明：BD平分∠EBC；
（Ⅱ）證明：AE•DC=AB•BE．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,與圓有關(guān)的比例線段

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）由BE是⊙O的切線，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，從而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．
（2）先證明△BDE∽△ABE，可得

BE

AE

=

BD

AB

，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，從而可得

BE

AE

=

BD

AB

=

CD

AB

，即可得解．

解答： 解：（1）因為BE是⊙O的切線，所以∠EBD=∠BAD…（2分）
又因為∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…（4分）
所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（5分）
（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以

BE

AE

=

BD

AB

，…（7分）
又因為∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…（8分）
所以

BE

AE

=

BD

AB

=

CD

AB

，…（9分）
所以AE•DC=AB•BE…（10分）

點評：本題主要考查了相似三角形的判定，與圓有關(guān)的比例線段的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的切線的性質(zhì)的靈活運用，屬于中檔題．