Question

已知函數(shù)，在點處的切線方程是（e為自然對數(shù)的底）。

（1）求實數(shù)的值及的解析式；

（2）若是正數(shù)，設(shè)，求的最小值；

（3）若關(guān)于x的不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

（1）a=1，b=0，f（x）=xlnx；（2）tln（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)在點（e，f（e））處的切線方程是2x﹣y﹣e=0，可得f（e）=e，f′（e）=2，利用點（e，f（e））在函數(shù)f（x）=ax•lnx+b上，即可求實數(shù)a，b的值及f（x）的解析式；

（2）h（x）=f（x）+f（t﹣x）=xlnx+（t﹣x）ln（t﹣x），h（x）的定義域為（0，t），確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求h（x）的最小值；

（3）xlnx+（6﹣x）ln（6﹣x）=f（x）+f（6﹣x）=h（x），t=6時h（x）min=h（3）=6ln3=ln729，從而關(guān)于x的不等式xlnx+（6﹣x）ln（6﹣x）≥ln（k2﹣72k）對一切x∈（0，6）恒成立，轉(zhuǎn)化為ln（k2﹣72k）≤ln729，解不等式，即可求得實數(shù)k的取值范圍．

試題解析：（1）依題意有2e﹣f（e）﹣e=0，∴f（e）=e

∵f（x）=ax•lnx+b，∴f′（x）=alnx+a+b∴f′（e）=alne+a+b=2，∴2a+b=2，∴b=2﹣2a

∵點（e，f（e））在函數(shù)f（x）=ax•lnx+b上∴f（e）=aelne+b=ae+b=e

∴ae+2﹣2a=e，∴a=1∴b=0，∴f（x）=xlnx；

故實數(shù)a=1，b=0，f（x）=xlnx …（4分）

（2）h（x）=f（x）+f（t﹣x）=xlnx+（t﹣x）ln（t﹣x），

的定義域為；

增函數(shù)減函數(shù)

（8分）

（3）

由(2)知

對一切恒成立

故實數(shù)的取值范圍.（12分）

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．