已知,曲線上任意一點(diǎn)分別與點(diǎn)、連線的斜率的乘積為.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn),若曲線與直線沒有公共點(diǎn),求證:.
(Ⅰ),.
(Ⅱ)由得,利用曲線與直線沒有公共點(diǎn),,得到,利用,,及均值定理確定
,
從而證得.
解析試題分析:(Ⅰ)設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為.利用依題意點(diǎn)分別與點(diǎn)、連線的斜率的乘積為,轉(zhuǎn)化成代數(shù)式,整理可得.
(Ⅱ)由得,利用曲線與直線沒有公共點(diǎn),,得到,利用,,及均值定理確定
,
從而證得.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為.
依題意,且, 3分
整理得.所以,曲線的方程為:,. 5分
(Ⅱ)由得,
, 7分
由已知條件可知,,所以
,
從而, 即. 13分
考點(diǎn):1、求軌跡方程,2、直線與橢圓的位置關(guān)系,3、均值定理的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓方程為,過右焦點(diǎn)斜率為1的直線到原點(diǎn)的距離為.
(1)求橢圓方程.
(2)已知為橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn),為橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),為過點(diǎn)且垂直軸的直線,點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn),點(diǎn)為以為直徑的圓與直線的一個(gè)交點(diǎn),求證:三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)、,若動點(diǎn)滿足.
(1)求動點(diǎn)的軌跡曲線的方程;
(2)在曲線上求一點(diǎn),使點(diǎn)到直線:的距離最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知為拋物線的焦點(diǎn),拋物線上點(diǎn)滿足
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),過點(diǎn)F作斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不為,連結(jié)、并延長交拋物線于、兩點(diǎn),設(shè)直線的斜率為,問是否為定值,若是求出該定值,若不是說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知動圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,m) (m>0),且與直線y=-m相切,圓C被x軸截得弦長的最小值為1,記該圓的圓心的軌跡為E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)是否存在曲線C與曲線E的一個(gè)公共點(diǎn),使它們在該點(diǎn)處有相同的切線?若存在,求出切線方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,設(shè)AB,CD為⊙O的兩直徑,過B作PB垂直于AB,并與CD延長線相交于點(diǎn)P,過P作直線與⊙O分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),連結(jié)AE,AF分別與CD交于G、H
(Ⅰ)設(shè)EF中點(diǎn)為,求證:O、、B、P四點(diǎn)共圓
(Ⅱ)求證:OG =OH.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)的動直線,與橢圓:()相交于,兩點(diǎn). 當(dāng)軸時(shí),,當(dāng)軸時(shí),.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若的中點(diǎn)為,且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點(diǎn)、在軌跡上,且關(guān)于軸對稱,過線段(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線,使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn)、.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的方程為,其離心率為,經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為3.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),P為橢圓上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,求的取值范圍.
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