經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為．點、在軌跡上，且關于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設直線與軌跡交于點、．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程．

（1）；（2）詳見解析；（3）.

解析試題分析：（1）方法1是利用直接法，設動點坐標為，根據(jù)題中條件列式并化簡進而求出動點的軌跡方程；方法2是將問題轉(zhuǎn)化為圓心到定點的距離等于點到定直線的距離，利用拋物線的定義寫出軌跡的方程；（2）由于軸，利用直線與直線的斜率互為相反數(shù)證明；（3）方法1是先將的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出點的坐標，并根據(jù)一些幾何性質(zhì)求出、，并將的面積用點的坐標表示以便于求出點的坐標，結(jié)合點的坐標求出直線的方程；方法2是利用（2）中的條件與結(jié)論，利用直線確定點和點坐標之間的關系，借助弦長公式求出、，并將的面積用點的坐標表示以便于求出點的坐標，結(jié)合點的坐標求出直線的方程.
試題解析：（1）方法1：設動圓圓心為，依題意得，．        1分
整理，得．所以軌跡的方程為．                   2分
方法2：設動圓圓心為，依題意得點到定點的距離和點到定直線的距離相等，
根據(jù)拋物線的定義可知，動點的軌跡是拋物線．                    1分
且其中定點為焦點，定直線為準線．

所以動圓圓心的軌跡的方程為．    2分
（2）由（1）得，即，則．
設點，由導數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為
．          3分
由題意知點．設點，，
則，
即．                  4分
因為，．           5分
由于，即．         6分
所以．                               7分
（3）方法1：由點到的距離等于，可知

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標原點，右準線為，離心率為．若直線與橢圓交于不同的兩點、，以線段為直徑作圓.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若圓與軸相切，求圓被直線截得的線段長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知，曲線上任意一點分別與點、連線的斜率的乘積為．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設直線與軸、軸分別交于、兩點，若曲線與直線沒有公共點，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓C：的半徑等于橢圓E：（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi)，且到直線l：y＝x－的距離為－，點M是直線l與圓C的公共點，設直線l交橢圓E于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為，點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ) 設點是拋物線上的兩點，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

給定橢圓： ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓：．過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知A、B、C是橢圓W:上的三個點,O是坐標原點.
(I)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積；
(II)當點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

定義：設分別為曲線和上的點，把兩點距離的最小值稱為曲線到的距離．
（1）求曲線到直線的距離；
（2）已知曲線到直線的距離為，求實數(shù)的值；
（3）求圓到曲線的距離．

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