在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點的動直線,與橢圓)相交于,兩點. 當(dāng)軸時,,當(dāng)軸時,
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若的中點為,且,求直線的方程.

(Ⅰ);(Ⅱ).

解析試題分析:(Ⅰ)利用已知條件確定、的值,進(jìn)而求出橢圓的方程;(Ⅱ)解法一是逆用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個性質(zhì),由得到為直角三角形,且為斜邊,于是得到,借助韋達(dá)定理與向量的有關(guān)知識確定直線的方程;解法二是直接設(shè)直線的方程,直接從問題中的等式出發(fā),借助韋達(dá)定理與弦長公式確定直線的方程.
試題解析:解法一:(Ⅰ)當(dāng)軸時,
當(dāng)軸時,,得,
解得,
所以橢圓的方程為:.    5分
(Ⅱ)設(shè)直線,與方程聯(lián)立,得
設(shè),,則, .①
因為,即,
所以,即,              8分
所以,則,
將①式代入并整理得:,解出
此時直線的方程為:,即,.  12分
解法二:(Ⅰ)同解法一                                   5分
(Ⅱ)設(shè)直線,與聯(lián)立,得.(﹡)
設(shè),,則,
從而
.       8分
設(shè),則,
得:
整理得,即,
,解得,從而
故所求直線的方程為:,
.                    12分
考點:橢圓的方程、韋達(dá)定理、弦長公式

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓)右頂點到右焦點的距離為,短軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過左焦點的直線與橢圓分別交于兩點,若線段的長為,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知橢圓的上、下頂點分別為,點在橢圓上,且異于點,直線與直線分別交于點,

(Ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為,求證:為定值;
(Ⅱ)求線段的長的最小值;
(Ⅲ)當(dāng)點運(yùn)動時,以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點?請證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知,曲線上任意一點分別與點、連線的斜率的乘積為
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線軸、軸分別交于、兩點,若曲線與直線沒有公共點,求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

極坐標(biāo)系中橢圓C的方程為
以極點為原點,極軸為軸非負(fù)半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,且兩坐標(biāo)系取相同的單位長度.
(Ⅰ)求該橢圓的直角標(biāo)方程;若橢圓上任一點坐標(biāo)為,求的取值范圍;
(Ⅱ)若橢圓的兩條弦交于點,且直線的傾斜角互補(bǔ),
求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知圓C:的半徑等于橢圓E:(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-的距離為,點M是直線l與圓C的公共點,設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2).

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線的焦點為,點是拋物線上的一點,且其縱坐標(biāo)為4,
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ) 設(shè)點是拋物線上的兩點,的角平分線與軸垂直,求的面積最大時直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線與雙曲線有公共焦點,點是曲線在第一象限的交點,且
(1)求雙曲線的方程;
(2)以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切,圓.過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線,設(shè)被圓截得的弦長為,被圓截得的弦長為,問:是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,點是橢圓)的左焦點,點,分別是橢圓的左頂點和上頂點,橢圓的離心率為,點軸上,且,過點作斜率為的直線與由三點,,確定的圓相交于,兩點,滿足

(1)若的面積為,求橢圓的方程;
(2)直線的斜率是否為定值?證明你的結(jié)論.

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