Question

設(shè){a_n}是集合{2^t＋2^s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a₁＝3，a₂＝5，a₃＝6，a₄＝9，a₅＝10，a₆＝12，…．

(1)將數(shù)列{a_n}各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫(xiě)成如下的三角形數(shù)表：

注：本題考查歸納猜想的能力．

①寫(xiě)出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行，第五行各數(shù)；

②求a₁₀₀．

(2)設(shè){b_n}是集合{2^t＋2^s＋2^r|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，已知b_k＝1160，求k．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①解：第四行17　18　20　24　 　　第五行　33　34　36　40　48 　　②解法一：設(shè)a100＝2t0＋2s0．只需確定正整數(shù)t0，s0． 　　數(shù)列{an}中小于2t0的項(xiàng)構(gòu)成的子集為{2t＋2s|0≤s＜t＜t0}． 　　其元素個(gè)數(shù)為C2t0＝． 　　依題意＜100， 　　滿(mǎn)足上式的最大整數(shù)t0為14，所以取t0＝14． 　　因?yàn)?00－C214＝s0＋1，由此解得s0＝8． 　　所以a100＝214＋28＝16640． 　　解法二：n為an的下標(biāo)，三角形數(shù)表第一行第一個(gè)元素下標(biāo)為1， 　　第二行第一個(gè)元素下標(biāo)為＋1＝2， 　　第三行第一個(gè)元素下標(biāo)為＋1＝4， 　　…… 　　第t行第一個(gè)元素下標(biāo)為＋1，第t行第s個(gè)元素下標(biāo)為＋s，該元素等于2t＋2s－1． 　　據(jù)此判斷a100所在的行，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3036/0066/f74dc82b05e57ea3f1bd6f02de91fc33/C/Image408.gif" width=80 height=41>＜100≤，所以a100是三角形數(shù)表第14行的第9個(gè)元素，a100＝214＋29－1＝16640． 　　(2)解：bk＝1160＝210＋2＋＋23， 　　令M＝{c∈B|c＜1160}(其中B＝{2t＋2s＋2r|0≤r＜s＜t})， 　　因M＝{c∈B|c＜210}∪{c∈B|210＜c＜210＋27}∪{c∈B|210＋27＜c＜210＋27＋23}． 　　現(xiàn)在求M的元素個(gè)數(shù)：{c∈B|c＜210}＝{2t＋2s＋2r|0≤r＜s＜t＜10}，其元素個(gè)數(shù)為C310； 　　{c∈B|210＜c＜210＋27}＝{210＋2s＋2r|0≤r＜s＜7}． 　　其元素個(gè)數(shù)為C27； 　　{c∈B|210＋27＜c＜210＋27＋23}＝{210＋27＋2r|0≤r＜3}； 　　其元素個(gè)數(shù)為C13； 　　∴k＝＋＋＋1＝145．