Question

20．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩焦點(diǎn)，若橢圓C上的點(diǎn)A（0，$\sqrt{3}$）到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的距離之和為4，
（1）求橢圓C的方程；
（2）求橢圓C的短軸長和焦距．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出橢圓的a，b然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）利用標(biāo)準(zhǔn)方程求解橢圓C的短軸長和焦距．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩焦點(diǎn)，若橢圓C上的點(diǎn)A（0，$\sqrt{3}$）到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的距離之和為4，可得b=$\sqrt{3}$，a=2，
則橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
短軸長$2\sqrt{3}$，長軸長為：4，則焦距2c=2．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．