Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，直線l：x=my+4與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出e=

c

a

=

1

2

，b=

6

1+1

=

3

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由

x=my+4 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+24my+36=0，由△＞0，得m²＞4，由此利用韋達定理能求出

OA

•

OB

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知e=

c

a

=

1

2

，∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，
∴a2=

4

3

b2，又b=

6

1+1

=

3

，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）由

x=my+4 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+24my+36=0，（6分）
由△＞0得（24m）²-4×36（3m²+4）＞0，解得m²＞4，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=-

24m

3m2+4

，y1y2=

36

3m2+4

，（8分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=（m²+1）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16
=

-12m2+100

3m2+4

=-4+

116

3m2+4

，（10分）
∵m²＞4，∴3m²+4＞16，∴

OA

•

OB

∈(-4，

13

4

)，
∴

OA

•

OB

的取值范圍是（-4，

13

4

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．