a、b、c、d四名運(yùn)動(dòng)員爭奪某次賽事的第1、2、3、4名,比賽規(guī)則為:通過抽簽,將4人分為甲、乙兩個(gè)小組,每組2人,第一輪比賽(半決賽):兩組各進(jìn)行一場比賽決出各組的勝者和負(fù)者;第二輪比賽(決賽):兩組中的勝者進(jìn)行一場比賽爭奪第1、2名,兩組中的負(fù)者進(jìn)行一場比賽爭奪第3、4名,死命選手以往交手的勝負(fù)情況如表所示:
  a c d
 a -a20勝10負(fù) a13勝利26負(fù) a18勝18負(fù) 
 b b10勝20負(fù)-b28勝14負(fù)  b19勝19負(fù)
 c c26勝13負(fù) c14勝28負(fù)- c17勝17負(fù)
 d  d18勝18負(fù)  d19勝19負(fù)d17勝17負(fù) -
若抽簽結(jié)果為甲組:a、d,乙組:b、c,每場比賽中,以雙方以往交手各自獲勝的概率作為其獲勝的概率.
(1)求a獲得第1名的概率;
(2)求a的名次ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
考點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列
專題:概率與統(tǒng)計(jì)
分析:(1)設(shè)a分別與b,c,d比賽時(shí),a獲勝為事件Ab,Ac,Ad,則P(Ab)=
2
3
,P(Ac)=
1
3
,P(Ad)=
1
2
,設(shè)b分別與a,c,d比賽時(shí),b獲勝為事件Ba,Bc,Bd,則P(Ba)=
1
3
,P(Bc)=
2
3
,P(Bd)=
1
2
,設(shè)c分別與a,b,d比賽時(shí),獲勝為事件Ca,Cb,Cd,則P(Ca)=
2
3
,P(Cb)=
1
3
,P(Cd)=
1
2
,設(shè)d分別與a,b,c比賽時(shí),d獲勝為事件Da,Db,Dc,則P(Da)=
1
2
,P(Db)=
1
2
,P(Dc)=
1
2
,若a獲得第一名,則甲組中a勝,且a與乙中的勝者比賽進(jìn)仍獲勝,由此能求出a獲得第1名的概率.
(2)a的名次ξ的可能取值為1,2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出a的名次ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
解答: 解:(1)設(shè)a分別與b,c,d比賽時(shí),a獲勝為事件Ab,Ac,Ad,
則P(Ab)=
2
3
,P(Ac)=
1
3
,P(Ad)=
1
2
,
設(shè)b分別與a,c,d比賽時(shí),b獲勝為事件Ba,Bc,Bd,
P(Ba)=
1
3
,P(Bc)=
2
3
,P(Bd)=
1
2

設(shè)c分別與a,b,d比賽時(shí),獲勝為事件Ca,Cb,Cd,
則P(Ca)=
2
3
,P(Cb)=
1
3
,P(Cd)=
1
2
,
設(shè)d分別與a,b,c比賽時(shí),d獲勝為事件Da,Db,Dc,
則P(Da)=
1
2
,P(Db)=
1
2
,P(Dc)=
1
2

若a獲得第一名,則甲組中a勝,且a與乙中的勝者比賽進(jìn)仍獲勝,
∴a獲得第1名的概率:
P=P(Ad)P(Bc)P(Ab)+P(Ad)P(Cb)P(Ac
=
1
2
×
2
3
×
2
3
+
1
2
×
1
3
×
1
3
=
5
18

∴a獲得第1名的概率為
5
18

(2)a的名次ξ的可能取值為1,2,3,4,
P(ξ=1)=P(Ad)P(Bc)P(Ab)+P(Ad)P(Cb)P(Ac)=
1
2
×
2
3
×
2
3
+
1
2
×
1
3
×
1
3
=
5
18
,
ξ=2,表示甲組中a勝,且a與乙中的勝者比賽時(shí)負(fù),
∴P(ξ=2)=P(Ad)P(Bc)P(Bd)+P(Ad)P(Cb)P(Ac)=
1
2
×
2
3
×
1
3
+
1
2
×
1
3
×
2
3
=
4
18
,
ξ=3表示甲組中a負(fù),且a與乙組的負(fù)者比賽時(shí)獲勝,
∴P(ξ=3)=P(Da)P(Bc)P(Ac)+P(Da)P(Ca)P(Ab)=
1
2
×
2
3
×
1
3
+
1
2
×
1
3
×
2
3
=
4
18

P(ξ=4)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)-P(ξ=3)=
5
18
,
∴ξ的分布列為:
 ξ 1 2 3 4
 P 
5
18
 
4
18
 
4
18
 
5
18
Eξ=
5
18
+2×
4
18
+3×
4
18
+4×
5
18
=
5
2
點(diǎn)評:本題考查相互獨(dú)立事件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.
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復(fù)數(shù)
i
1+2i
(i是虛數(shù)單位)的虛部是
 

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十八屆四中全會明確提出“以法治手段推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)”,為響應(yīng)號召,某市紅星路小區(qū)的環(huán)保人士向該市政府部門提議“在全市范圍內(nèi)禁放煙花、炮竹”.為此,紅星路小區(qū)的環(huán)保人士對該小區(qū)年齡在[15,75)的市民進(jìn)行問卷調(diào)查,隨機(jī)抽查了50人,并將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
年齡(歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)
頻數(shù)610121255
贊成人數(shù)3610643
(1)請估計(jì)紅星路小區(qū)年齡在[15,75)的市民對“禁放煙花、炮竹”的贊成率和被調(diào)查者的年齡平均值;
(2)若從年齡在[55,65)、[65,75)的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記被選4人中不贊成“禁放煙花、炮竹”的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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解方程:4t2+5t-26=0.

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已知向量
a
=(1,3),
b
=(2,-1),
c
=(1,1).若
c
a
b
(λ,μ∈R),則
λ
μ
=
 

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若sinα≤0,則α的集合是
 

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若將一個(gè)圓錐的側(cè)面沿著一條母線剪開,其展開圖是半徑為2的半圓,則該圓錐的體積為
 

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已知圓F1:(x+1)2+y2=r2與圓F2:(x-1)2+y2=(4-r)2(0<r<4)的公共點(diǎn)的軌跡為曲線E,且曲線E與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M.若曲線E上相異兩點(diǎn)A、B滿足直線MA,MB的斜率之積為
1
4

(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)證明直線AB恒過定點(diǎn),并求定點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅲ)求△ABM的面積的最大值.

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求U=
2-sinθ
1-cosθ
的最小值.

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