Question

已知點P是邊長為1的正三角形內一點，該點到三角形三邊的距離分別是a，b，c（a，b，c＞0），則ab+bc+ca的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  4

  ]
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、（0，

  3

  2

  ]
• D、[

  1

  4

  ，1]

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：利用三角形的面積計算公式可得

1

2

×a×1+

1

2

×b×1+

1

2

×c×1=

1

2

×1×

3

2

，即a+b+c=

3

2

．再利用（a+b+c）²≥3（ab+ac+bc），即可得出．

解答： 解：∵

1

2

×a×1+

1

2

×b×1+

1

2

×c×1=

1

2

×1×

3

2

，
∴a+b+c=

3

2

．
∵（a+b+c）²≥3（ab+ac+bc），
∴ab+bc+ca≤

1

3

×(

3

2

)2=

1

4

．
又ab+bc+ca＞0．
∴ab+bc+ca的取值范圍是(0，

1

4

]．
故選；A．

點評：本題考查了等邊三角形的面積計算公式、不等式的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．