Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），（m≠0），設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）的一個(gè)極值點(diǎn)是x=0，求y=g（x）的值域；
（Ⅲ）若函數(shù)ϕ（x）=xg（x）存在三個(gè)極值點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），（m≠0），等價(jià)于x²+（a+1-2m）x+m²+m＜0的解集為（m，m+1），利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$=（x-1）+$\frac{m}{x-1}$．由g′（0）=0，可得m=1，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出值域．
（Ⅲ）由φ（x）=xg（x），可得φ′（x）=g（x）+xg′（x）=$\frac{（2x-1）（x-1）^{2}-m}{（x-1）^{2}}$（x≠1），由題意，函數(shù)φ（x）存在三個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)φ′（x）有三個(gè)不等的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），（m≠0），
等價(jià)于x²+（a+1-2m）x+m²+m＜0的解集為（m，m+1），
∴a+1-2m=-（-2m+1）．
∴a=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}-2x+m+1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{m}{x-1}$．
由g′（0）=0，可得m=1，
利用基本不等式的性質(zhì)可得：函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋?∞，-2]∪[2，+∞），
（Ⅲ）由φ（x）=xg（x），可得φ′（x）=g（x）+xg′（x）=$\frac{（2x-1）（x-1）^{2}-m}{（x-1）^{2}}$（x≠1），
由題意，函數(shù)φ（x）存在三個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)φ′（x）有三個(gè)不等的零點(diǎn)，
由φ′（x）=0，可得m=（2x-1）（x-1）²，
設(shè)h（x）=（2x-1）（x-1）²，
h′（x）=2（x-1）²+2（2x-1）（x-1）
=6（x-1）$（x-\frac{2}{3}）$，
令h′（x）＞0，解得x＞1或$x＜\frac{2}{3}$，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得$\frac{2}{3}＜x＜1$，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
可知：當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值$h（\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{27}$；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值h（1）=0．
∵h(yuǎn)（x）=m有三個(gè)不同零點(diǎn)，
∴$h（1）＜m＜h（\frac{2}{3}）$，
∴$0＜m＜\frac{1}{27}$時(shí)，φ（x）存在三個(gè)極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、一元二次不等式的解集，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．