Question

6．證明下列不等式：
（1）當(dāng)x＞1時，e^x＞e•x
（2）設(shè)x＞0，證明：ln（1+x）＜x
（3）當(dāng)x＞0時，ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=e^x-e•x，利用導(dǎo)數(shù)可得，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增的，故f（x）＞f（1）=0，從而證得不等式e^x＞e•x．
（2）設(shè)函數(shù)y=x-ln（1+x），利用導(dǎo)數(shù)可得y在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故x-ln（1+x）＞0-ln1=0，從而得到 x＞ln（1+x）．
（3）證明：令t=1+$\frac{1}{x}$，x=$\frac{1}{t-1}$，t＞1，本題即證lnt＞$\frac{t-1}{t}$=1-$\frac{1}{t}$．利用導(dǎo)數(shù)可得令f（t）=ln t-1+$\frac{1}{t}$在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故f（t）＞f（1）=0，從而證得不等式ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$成立．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=e^x-e•x，則當(dāng)x＞1，f′（x）=e^x-e＞0，
故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增的，故f（x）＞f（1）=0，
即e^x＞e•x．
（2）證明：設(shè)x＞0，函數(shù)y=x-ln（1+x），∵y′=1-$\frac{1}{x+1}$＞0，
故函數(shù)y在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故x-ln（1+x）＞0-ln1=0，
即x＞ln（1+x）．
（3）證明：令t=1+$\frac{1}{x}$，x=$\frac{1}{t-1}$，t＞1，本題即證lnt＞$\frac{t-1}{t}$=1-$\frac{1}{t}$．
令f（t）=ln t-1+$\frac{1}{t}$，t＞1，則f′（t）=$\frac{1}{t}$-0-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
故f（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故f（t）＞f（1）=0，
∴l(xiāng)n t＞1-$\frac{1}{t}$，即 ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性證得不等式成立，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、換元的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．