Question

16．桌子上有兩個形狀完全相同的盒子，第一個盒子里有2個白球和4個紅球，第二個盒子里有2個黑球和1個紅球．每次操作都是先在兩個盒子中隨機地選出一個盒子，再在這個盒子中隨機地選出一個球．
（1）求操作一次之后無法判斷所選的盒子是第幾個盒子的概率；
（2）如果每次操作之后都將選出的球放回到原來盒子中，那么重復操作4次后，求其中紅球個數(shù)的分布列和期望；
（3）如果操作一次取出的是紅色球，求這個球來自于第一個盒子的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得選出的球是紅球，由此能求出操作一次之后無法判斷所選的盒子是第幾個盒子的概率．
（2）重復操作4次后，其中紅球個數(shù)X～B（4，$\frac{1}{2}$），由此能求出紅球個數(shù)的分布列和期望．
（3）設A₁表示取到的紅球來自第一個盒子，A₂表示取到的盒子來自第二個盒子，B表示取到紅球，由此利用條件概率公式能求出操作一次取出的是紅色球，這個球來自于第一個盒子的概率．

解答 解：（1）∵操作一次之后無法判斷所選的盒子是第幾個盒子，
∴選出的球是紅球，
∴操作一次之后無法判斷所選的盒子是第幾個盒子的概率：
p=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$．
（2）每次取到紅取的概率都是p=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴重復操作4次后，其中紅球個數(shù)X～B（4，$\frac{1}{2}$），
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

EX=4×$\frac{1}{2}$=2．
（3）設A₁表示取到的紅球來自第一個盒子，A₂表示取到的盒子來自第二個盒子，B表示取到紅球，
由P（A₁B）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P（B）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴操作一次取出的是紅色球，這個球來自于第一個盒子的概率：
P（A₁/B）=$\frac{P（{A}_{1}B）}{P（{B}_{\;}）}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意條件概率和二項分布的合理運用．