Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3
（1）若f（x）＞0的解集為{x|x＜1或x＞3}，求實(shí)數(shù)a的值．
（2）若f（x）≥0對x∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）≥a對a∈[-3，-1]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得到不等式組解出即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為$a≥-（x+\frac{3}{x}）$對x∈[1，2]恒成立，從而求出a的范圍；（3）令g（a）=（x-1）a+x²-3，得到g（a）≥0對a∈[-3，-1]恒成立，得到不等式組，解出x的范圍即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{1+a+3=0}\\{9+3a+3=0}\end{array}}\right.$…（3分）
解得a=-4…（5分）
（2）由題意x²+ax+3≥0對x∈[-2，1]恒成立，
則$a≥-（x+\frac{3}{x}）$對x∈[1，2]恒成立，
∵$x+\frac{3}{x}≥2\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\sqrt{3}$時“=”成立 …（8分），
∴$a≥-2\sqrt{3}$…（10分）
（或分類討論求函數(shù)y=f（x）的最小值）
（3）由題可得（x-1）a+x²+3≥0對a∈[-3，-1]恒成立 …（11分）
令g（a）=（x-1）a+x²-3，
則g（a）≥0對a∈[-3，-1]恒成立     …（12分）
則$\left\{\begin{array}{l}g（-1）=-（x-1）+{x^2}-3≥0\\ g（1）=-3（x-1）+{x^2}-3≥0\end{array}\right.$…（14分）
得x∈（-∞，0]∪[3，+∞）…（15分）

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，本題是一道中檔題．