Question

16．已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=x³+ax+a．
（1）問：f（x）=0在（0，+∞）上有幾個(gè)實(shí)根？
（2）若F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù) 的極小值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；
（2）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，分離參數(shù)得到2a≥lnx-3x²+1恒成立，設(shè)h（x）=lnx-3x²+1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-6x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=xlnx-ax，定義域是（0，+∞），
f′（x）=lnx+1-a=0，
令f′（x）＞0，解得：x＞e^a-1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e^a-1，
∴f（x）在（0，e^a-1）遞減，在（e^a-1，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（e^a-1），無(wú)極大值，
∵f（e^a-1）=-e^a-1＜0，x→0時(shí)，f（x）→0，
∴f（x）=0在（0，+∞）上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）由F（x）=f（x）-g（x）=xlnx-2ax-x³-a在（0，+∞）遞減，
得：F′（x）=lnx+1-2a-3x²≤0在（0，+∞）恒成立，
即：2a≥lnx-3x²+1恒成立，
設(shè)h（x）=lnx-3x²+1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-6x，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{6}}{6}$，令h′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴h（x）在（0，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）遞增，在（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，+∞）遞減，
∴h（x）_最大值=h（$\frac{\sqrt{6}}{6}$）=$\frac{1}{2}$（1-ln6），
∴a≥$\frac{1}{4}$（1-ln6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．