Question

11．已知正數(shù)a，b滿足$\frac{3}{5a}+\frac{1}{5b}=1$，實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤2}\\{x+2y≥5}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，z=ax+by，則當(dāng)3a+4b取最小值時(shí)，z的最大值為5．

Answer 1

分析 利用基本不等式先求出a，b，然后由約束條件作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：∵正數(shù)a，b滿足$\frac{3}{5a}+\frac{1}{5b}=1$，
∴3a+4b=（3a+4b）（$\frac{3}{5a}+\frac{1}{5b}$）=$\frac{9}{5}+\frac{3a}{5b}+\frac{12b}{5a}+\frac{4}{5}$=$\frac{13}{5}+\frac{3a}{5b}+\frac{12b}{5a}≥\frac{13}{5}+2\sqrt{\frac{3a}{5b}•\frac{12b}{5a}}$=3，
當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=$\frac{1}{2}$，取等號(hào)．
即目標(biāo)函數(shù)z=ax+by=x+$\frac{1}{2}$y，
由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤2}\\{x+2y≥5}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（4，2），
由z=x+$\frac{1}{2}$y，得y=-2x+2z，
由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+2z過點(diǎn)A（4，2）時(shí)，
直線在y軸上的截距最大，z有最大值為：4+2×$\frac{1}{2}$=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．