Question

6．x，y∈R⁺，（1+x）（1+2y）=2，則4xy+$\frac{1}{xy}$的最小值為12．

Answer 1

分析 通過換元，化簡(jiǎn)函數(shù)式，利用基本不等式和對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最小值．

解答 解：∵（1+x）（1+2y）=2，
∴1+x+2y+2xy=2，
即x+2y=1-2xy≥2$\sqrt{2xy}$，
令$\sqrt{2xy}$=t＞0，則xy=$\frac{{t}^{2}}{2}$，
即1-t²≥2t 則0＜t≤$\sqrt{2}$-1，
則0＜t²=2xy≤3-2$\sqrt{2}$，
不妨令u=2xy∈（0，3-2$\sqrt{2}$]
則4xy+$\frac{1}{xy}$=2u+$\frac{2}{u}$，在區(qū)間（0，3-2$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞減，
故當(dāng)u=3-2$\sqrt{2}$時(shí)4xy+$\frac{1}{xy}$取最小值12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，需要注意滿足的條件：一正、二定、三相等．