Question

11．若存在實數(shù)x₀和正實數(shù)△x，使得函數(shù)f（x）滿足f（x₀+△x）=f（x₀）+4k△x，（常數(shù)k≥1）．則稱函數(shù)f（x）為“k倍函數(shù)”．則下列四個函數(shù)
 ①${f_{\;}}（x）=\sqrt{x}$
②${f_{\;}}（x）={x^2}-2xx∈[0，3]$
 ③f（x）=4sinx
④${f_{\;}}（x）={e^x}-lnx$
其中為“k倍函數(shù)”的有①④（填出所有正確結論的番號）．

Answer 1

分析 ①利用新定義，通過選取實數(shù)x₀和正實數(shù)△x，判斷函數(shù)是否滿足新定義即可．②判斷新定義不滿足的情況，推出結果；③④利用表達式的幾何意義，通過函數(shù)的導數(shù)求解即可．

解答 解：對于①${f_{\;}}（x）=\sqrt{x}$，令實數(shù)x₀=0，正實數(shù)△x=$\frac{1}{16{k}^{2}}$，
可得：f（x₀+△x）=$\sqrt{△x}$=$\frac{1}{4k}$，
f（x₀）+4k△x=4k×$\frac{1}{16{k}^{2}}$=$\frac{1}{4k}$，
函數(shù)f（x）滿足f（x₀+△x）=f（x₀）+4k△x，（常數(shù)k≥1）．
函數(shù)f（x）為“k倍函數(shù)”．
對于②${f_{\;}}（x）={x^2}-2xx∈[0，3]$
f（x₀+△x）=（x₀+△x）²-2（x₀+△x）=x₀²+2x₀△x+△x²-2x₀-2△x，
f（x₀）+4k△x=x₀²-2x₀+4k△x，
若滿足f（x₀+△x）=f（x₀）+4k△x，
必有2x₀△x+△x²-2△x=4k△x，
即：2x₀+△x-2=4k，∵x∈[0，3]，x₀+△x∈[0，3]，x₀+△x-2∈[-2，1]，x₀＜3，
∴2x₀+△x-2＜4．
∴②函數(shù)f（x）不是“k倍函數(shù)”．
對于：③f（x）=4sinx，若函數(shù)f（x）滿足f（x₀+△x）=f（x₀）+4k△x，
由題意可知函數(shù)若滿足題意，
必有4k=$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$，即曲線上兩點連線的斜率必須存在≥4的斜率．
f′（x）=4cosx，
∵f′（△x）=4cos△x＜4，
∴③吧滿足題意．
對于④，${f_{\;}}（x）={e^x}-lnx$，函數(shù)若滿足題意，
必有4k=$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$，即曲線上兩點連線的斜率必須存在≥4的斜率．
f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，f′（△x）=${e}^{△x}-\frac{1}{△x}$∈R，
所以④滿足題意，
故答案為：①④．

點評 本題考查新定義的應用，賦值法以及直接法，函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，難度比較大．