Question

20．設$a=\sqrt{{x^2}-xy+{y^2}}，b=p\sqrt{xy}，c=x+y$，若對任意的正實數(shù)x，y，都存在以a，b，c為三邊長的三角形，則實數(shù)p的取值范圍是（　�。�

• A． （1，3）
• B． （1，2]
• C． $（\frac{1}{2}，\frac{7}{2}）$
• D． 以上均不正確

Answer 1

分析 由基本不等式可得a≥$\sqrt{xy}$，c≥2$\sqrt{xy}$，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊可得，$\sqrt{xy}$+2$\sqrt{xy}$＞$b=p\sqrt{xy}$，且 $p\sqrt{xy}$+$\sqrt{xy}$＞2$\sqrt{xy}$，且 $p\sqrt{xy}$+2$\sqrt{xy}$＞$\sqrt{xy}$，由此求得實數(shù)p的取值范圍．

解答 解：對于正實數(shù)x，y，由于$a=\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$≥$\sqrt{2xy-xy}$=$\sqrt{xy}$，c=x+y≥2$\sqrt{xy}$，$b=p\sqrt{xy}$，
且三角形任意兩邊之和大于第三邊，
∴$\sqrt{xy}$+2$\sqrt{xy}$＞$b=p\sqrt{xy}$，且 $p\sqrt{xy}$+$\sqrt{xy}$＞2$\sqrt{xy}$，且 $p\sqrt{xy}$+2$\sqrt{xy}$＞$\sqrt{xy}$．
解得 1＜p＜3，故實數(shù)p的取值范圍是（1，3），
故選：A．

點評 本題主要考查基本不等式的應用，注意不等式的使用條件，以及三角形中任意兩邊之和大于第三邊，屬于中檔題．