Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=（2n+1）（a_n+1），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)為T_n，求滿足不等式

Tn-2

2n-1

≥2的最小的n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S₁=a₁=2a₁-1，解得a₁=1，a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-（n+1）-2a_n+n，從而得到{a_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，由此求出a_n=2ⁿ-1．
（2）由b_n=（2n+1）（a_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2，由此能求出滿足不等式

Tn-2

2n-1

≥2的最小的n的值．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-n（n∈N₊），
∴n=1時(shí)，S₁=a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
S_n+1=2a_n+1-（n+1）
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-（n+1）-2a_n+n
∴a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2，
∴{a_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=（2n+1）（a_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，①
2T_n=3•2²+5•2³+7•2⁵+…+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，②
∴①-②，得：
-T_n=6+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∵

Tn-2

2n-1

≥2，
∴2ⁿ⁺¹≥2，
解得n≥0，
∴滿足不等式

Tn-2

2n-1

≥2的最小的n的值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的最小的n的值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．