Question

已知函數(shù)f（x）=log

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（x²-2ax+3）．
（1）若f（x）的定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若f（-1）=-3，求f（x）單調(diào)區(qū)間；
（3）是否存在實數(shù)a，使f（x）在（-∞，2）上為增函數(shù)？若存在，求出a的范圍？若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）x²-2ax+3＞0恒成立，△＜0
（2）求出a轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題
（3）根據(jù)符合函數(shù)單調(diào)性求解．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log

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（x²-2ax+3）的定義域為R，
∴x²-2ax+3＞0恒成立，△＜0，4a²-12＜0
即a的取值范圍-

3

＜a＜

3

（2）∵f（-1）=-3，∴a=2
∵f（x）=log

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（x²-4x+3）．x²-4x+3＞0，x＜1或x＞3
設(shè)m（x）=x²-4x+3，對稱軸x=2，
∴在（-∞，1）上為減函數(shù)，在（3，+∞）上為增函數(shù)
根據(jù)符合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律可判斷：
f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，在（3，+∞）上為減函數(shù)
（3）函數(shù)f（x）=log

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（x²-2ax+3）．
設(shè)n（x）=x²-2ax+3，
可知在（-∞，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù)
∵f（x）在（-∞，2）上為增函數(shù)
∴a≥2且4-4a+3＞0，a≥2且a＜

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，不可能成立．
不存在實數(shù)a，使f（x）在（-∞，2）上為增函數(shù)．

點評：本題綜合考察了函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式求解，對函數(shù)理解的比較透徹才能做這道題．