Question

1．在正三棱柱中，CC₁=BC，點F是BC的中點，點 H在線段B₁B 上運動．
（1）請在圖中繪制平面AFH，使 FC₁⊥平面AFH，說明點H的位置．
（2）在（1）問的條件下，求平面AFH與平面AA₁B₁B 所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）過H作FH⊥C₁F交BB₁于H，連接AH，AF，C₁H．則平面AFH即為所要作的平面．設(shè)AB=1，HB=x，利用勾股定理列方程解出x即可判斷H的位置；
（2）以F為原點建立坐標(biāo)系，則$\overrightarrow{F{C}_{1}}$為平面AFH的法向量，取AB中點D，則$\overrightarrow{DC}$為平面AA₁B₁B 的法向量，求出cos＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{F{C}_{1}}$＞，則二面角的正弦值為$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{F{C}_{1}}＞}$．

解答 解：（1）過F作FH⊥C₁F交BB₁于H，連接AH，AF，C₁H．則平面AFH即為所要作的平面．
∵FC₁⊥平面AFH，F(xiàn)H?平面AFH，
∴C₁F⊥FH，
設(shè)HB=x，BC=CC₁=1，則B₁H=1-x，B₁C₁=1，BF=CF=$\frac{1}{2}$
∴FH²=HB²+BF²=x²+$\frac{1}{4}$，C₁F²=CC₁²+CF²=$\frac{5}{4}$，
C₁H²=B₁C₁²+B₁H²=x²-2x+2．
∵C₁F⊥FH，
∴C₁H²=HF²+C₁F²，即x²-2x+2=x²+$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{4}$，解得x=$\frac{1}{4}$．
∴H為BB₁靠近B的四等分點．
（2）設(shè)B₁C₁的中點為E，則EF⊥平面ABC．
以F為原點，以FA，F(xiàn)B，F(xiàn)E為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則F（0，0，0），C₁（0，-$\frac{1}{2}$，1），A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），
B（0，$\frac{1}{2}$，0），C（0，-$\frac{1}{2}$，0）．
∵C₁F⊥平面AFH，∴平面AFH的一個法向量為$\overrightarrow{F{C}_{1}}$=（0，-$\frac{1}{2}$，1），
取AB的中點D，連接CD，則CD⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA₁⊥CD．
又AA₁∩AB=A，AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
∵D是AB的中點，∴D（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{4}$，0）．∴$\overrightarrow{DC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$，0）為平面ABB₁A₁的一個法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{F{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{F{C}_{1}}}{|\overrightarrow{DC}||\overrightarrow{F{C}_{1}}|}$=$\frac{\frac{3}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴平面AFH與平面AA₁B₁B 所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{85}}{10}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)，空間向量與二面角的計算，屬于中檔題．