Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足8S_n＝a＋4a_n＋3(n∈N^*)，且a₁，a₂，a₇依次是等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在常數(shù)a＞0且a≠1，使得數(shù)列{a_n－log_ab_n}(n∈N^*)是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解　(1)n＝1時(shí)，8a₁＝a＋4a₁＋3，a₁＝1或a₁＝3.(2分)

當(dāng)n≥2時(shí)，8S_n－1＝＋4a_n－1＋3，

a_n＝S_n－S_n－1＝(a＋4a_n－－4a_n－1)，

從而(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1－4)＝0

因?yàn)閧a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a_n－a_n－1＝4.(6分)

所以，當(dāng)a₁＝1時(shí)，a_n＝4n－3；當(dāng)a₁＝3時(shí)，a_n＝4n－1.

又因?yàn)楫?dāng)a₁＝1時(shí)，a₁，a₂，a₇分別為1,5,25，構(gòu)成等比數(shù)列，

所以a_n＝4n－3，b_n＝5^n－1.

當(dāng)a₁＝3時(shí)，a₁，a₂，a₇分別為3,7,27，不構(gòu)成等比數(shù)列，舍去．(11分)

(2)假設(shè)存在a，理由如下：(12分)

由(1)知，a_n＝4n－3，b_n＝5^n－1，從而

a_n－lon_ab_n＝4n－3－log_a5^n－1＝4n－3－(n－1)·log_a5＝(4－log_a5)n－3＋log_a5.

由題意，得4－log_a5＝0，所以a＝.(16分)