Question

已知S_n是等比數列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）若S₃=3a₁，求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）若S₃，S₉，S₆成等差數列，求證：a₂，a₈，a₅成等差數列．

Answer 1

考點：等差數列的性質,等比數列的性質

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）S₃=3a₁，可得q²+q-2=0，即可求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）由等比數列的定義，驗證得當q=1時不符合題意，因此得q≠1．再由等比數列的求和公式，結合S₃、S₉、S₆成等差數列建立關于q的方程，解之即可得到q³的值，由等比數列的通項公式，從而化簡得a₂+a₅-2a₈=0，所以a₂，a₈，a₅成等差數列．

解答： 解：（Ⅰ）S₃=3a₁，∴q²+q-2=0，∴q=1或2；
（Ⅱ）當q=1時，S₃=3a₁、S₉=9a₁、S₆=6a₁，
顯然S₃、S₉、S₆不能成等差數列，不符合題意，因此得q≠1 
由S₃、S₉、S₆成等差數列，得2S₉=S₃+S₆
即整理得2q⁶-q³-1=0，解q³=1或-

1

2

，
∵q=1時，2S₉=S₆+S₃不成立
∴q³=-

1

2

，
可得a₂+a₅-2a₈=a₂（1+q³-2q⁶）=a₂（1-

1

2

-2×

1

4

）=0
∴a₂+a₅=2a₈，即a₂，a₈，a₅成等差數列．

點評：本題給出等比數列的前3項和、前6項和與前9項和成等差數列，求它的公比并證明a₂，a₈，a₅也成等差數列．著重考查了等比數列的通項公式與求和公式，考查了等差中項的概念，屬于中檔題．