Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=a+

2bx+3sinx+bxcosx

2+cosx

（a、b∈R）有最大值和最小值，且最大值與最小值的和為6，則3a+2b=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件可知b=0，然后根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式求函數(shù)的值域，再根據(jù)最大值與最小值之和為6求得a的值，從而求得3a-2b的值．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）=a+

2bx+3sinx+bxcosx

2+cosx

=a+bx+

3sinx

2+cosx

 有最大值和最小值，
∴必有b=0，y=f（x）=a+

3sinx

2+cosx

，即y-a=

3sinx

2+cosx

．
∴3sinx+（a-y）cosx=2y-2a，∴

9+(a-y)2

sin（x+φ）=2y-2a．
再根據(jù)|sin（x+φ）|=|

2y-2a

9+(a-y)2

|≤1，
可得（y-a）²≤3，故有a-

3

≤y≤a+

3

．
再根據(jù)最大值與最小值之和為6，可得2a=6，即a=3，故有 3a-2b=9-0=9，
故答案為：9．

點評：本題考查了函數(shù)的值域的求法，利用條件確定b=0是解決本題的關(guān)鍵，利用輔助角公式將三角函數(shù)化簡，利用三角函數(shù)的有界性也是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．