Question

7．函數(shù)g（x）=log₂$\frac{2x}{x+1}$（x＞0），關(guān)于方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為-$\frac{3}{2}$＜m≤-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 可判斷函數(shù)y=$\frac{2x}{x+1}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，y=log₂x在（0，2）上單調(diào)遞增，從而可得|g（x）|=0或0＜|g（x）|＜1，0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；從而解得．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，0＜$\frac{2x}{x+1}$＜2，
且函數(shù)y=$\frac{2x}{x+1}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
y=log₂x在（0，2）上單調(diào)遞增，
且y＜1；
故若關(guān)于方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
則|g（x）|=0或0＜|g（x）|＜1，0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；
若|g（x）|=0，則2m+3=0，故m=-$\frac{3}{2}$；
故|g（x）|=0或|g（x）|=$\frac{3}{2}$，不成立；
故0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；
故$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（2m+3）＞0}\\{2m+3＞0}\\{1+m+2m+3≤0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{3}{2}$＜m≤-$\frac{4}{3}$；
故答案為：-$\frac{3}{2}$＜m≤-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．