Question

19．已知拋物線$y=\frac{1}{8}{x^2}$與雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-{x^2}=1（a＞0）$有共同的焦點F，O為坐標原點，P在x軸上方且在雙曲線上，則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最小值為（　�。�

• A． $3-2\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}-3$
• C． $-\frac{7}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 拋物線$y=\frac{1}{8}{x^2}$，可得x²=8y，焦點F為（0，2），則雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-{x^2}=1（a＞0）$的c=2，可得雙曲線方程，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合配方法，即可求出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最小值．

解答 解：拋物線$y=\frac{1}{8}{x^2}$，可得x²=8y，焦點F為（0，2），則雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-{x^2}=1（a＞0）$的c=2，
則a²=3，即雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{3}-{x}^{2}=1$，
設(shè)P（m，n）（n≥$\sqrt{3}$），則n²-3m²=3，∴m²=$\frac{1}{3}$n²-1，
則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$=（m，n）•（m，n-2）=m²+n²-2n=$\frac{1}{3}$n²-1+n²-2n=$\frac{4}{3}$（n-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{7}{4}$，
因為n≥$\sqrt{3}$，故當n=$\sqrt{3}$時取得最小值，最小值為3-2$\sqrt{3}$，
故選：A．

點評 本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．