Question

14．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線(xiàn)上，若$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|•|{\overrightarrow{P{F_2}}}|=2ac$（c為半焦距），則雙曲線(xiàn)的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，可得△PF₁F₂是直角三角形，由勾股定理得（2c）²=|PF₁|²+|PF₂|²=|PF₁-PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=4a²-4ac，即可求出雙曲線(xiàn)的離心率．

解答 解：由題意得，△PF₁F₂是直角三角形，
由勾股定理得（2c）²=|PF₁|²+|PF₂|²=|PF₁-PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=4a²-4ac，
∴c²-ac-a²=0，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．