Question

已知函數(shù)（）．
（1）若的定義域和值域均是，求實數(shù)的值；
（2）若對任意的，，總有，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1) ;   (2) ．

解析試題分析：(1)首先用配方法求出二次函數(shù)的對稱軸為，由于，知函數(shù)在已知區(qū)間是為減函數(shù)，要使函數(shù)定義域和值域均為，必須且只需 ，從而得到關(guān)于a的方程組，解此方程組得實數(shù)的值；(2)因為對任意的，，總有，等價于：，所以問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的最大值和最小值；由于二次函數(shù)的開口向上，且對稱軸為，所以其最小值一定是，而最大值就是兩個端點值所對函數(shù)值中的較大者，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：等價于比較兩個區(qū)間的端點誰離對稱軸遠(yuǎn)些；由此只需按與1的大小進行分類討論，即可用a的代數(shù)式表示出函數(shù)在的最大值和最小值，然后代入就可求得a的取值范圍．
試題解析：（1）∵（）,
∴在上是減函數(shù)，又定義域和值域均為，∴ ，
即  ， 解得 ．
（2）若，又，且，
∴，．
∵對任意的，，總有，
∴， 即 ，解得 ， 
又， ∴．
若，
顯然成立，
綜上．
考點：１．二次函數(shù)的單調(diào)性與最值；２．分類討論．