【題目】設函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1的導數(shù)滿足,其中常數(shù)a,b∈R.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)設,求函數(shù)g(x)的極值.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)求出導函數(shù)f′(x)=3x2+2ax+b,利用約束條件列出方程,求出a,b,求出切點坐標以及斜率,然后求解切線方程;(2)化簡g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x,求出導數(shù),求出極值點,判斷導函數(shù)的符號,推出函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的極值即可.
(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+1,∴f′(x)=3x2+2ax+b,
則解得
∴f(x)=x3-x2-3x+1,∴f(1)=-,f′(1)=-3,
∴y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為
y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0;
(2)由(1)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x,
∴g′(x)=(-3x2+9x)e-x,
令g′(x)=0,即(-3x2+9x)e-x=0,得x=0或x=3,
當x∈(-∞,0)時,g′(x)<0,
故g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.
當x∈(0,3)時,g′(x)>0,故g(x)在(0,3)上單調(diào)遞增.
當x∈(3,+∞)時,g′(x)<0,
故g(x)在(3,+∞)上單調(diào)遞減.
從而函數(shù)g(x)在x=0處取得極小值g(0)=-3,
在x=3處取得極大值g(3)=15e-3.
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【題目】兩臺車床加工同一種機械零件如下表:
分類 | 合格品 | 次品 | 總計 |
第一臺車床加工的零件數(shù) | 35 | 5 | 40 |
第二臺車床加工的零件數(shù) | 50 | 10 | 60 |
總計 | 85 | 15 | 100 |
從這100個零件中任取一個零件,求:
(1)取得合格品的概率;
(2)取得零件是第一臺車床加工的合格品的概率.
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【題目】如圖所示的鍍鋅鐵皮材料ABCD,上沿DC為圓弧,其圓心為A,圓半徑為2米,AD⊥AB,BC⊥AB,且BC=1米。現(xiàn)要用這塊材料裁一個矩形PEAF(其中P在圓弧DC上、E在線段AB上,F(xiàn)在線段AD上)做圓柱的側(cè)面,若以PE為母線,問如何裁剪可使圓柱的體積最大?其最大值是多少?
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【題目】已知點P是橢圓E:+y2=1上的任意一點,F1,F2是它的兩個焦點,O為坐標原點,動點Q滿足.
(1)求動點Q的軌跡方程;
(2)若已知點A(0,-2),過點A作直線l與橢圓E相交于B,C兩點,求△OBC面積的最大值.
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【題目】設點F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C: =1(a>1)的左、右焦點,P為橢圓C上任意一點,且 的最小值為0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點,點M,N是直線l上的兩點,且F1M⊥l,F(xiàn)2N⊥l,求四邊形F1MNF2面積S的最大值.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:的離心率,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點,過F1的直線交橢圓C于P,Q兩點,且的周長為8.
(1)求橢圓c的方程;
(2)設過點M(3,0)的直線交橢圓C于不同兩點A,B,N為橢圓上一點,且滿足(O為坐標原點),當時,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為,它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線x=2與橢圓交于P,Q兩點,P點位于第一象限,A,B是橢圓上位于直線x=2兩側(cè)的動點.
①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;
②當點A,B運動時,滿足∠APQ=∠BPQ,問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.
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【題目】設圓的圓心在軸上,并且過兩點.
(1)求圓的方程;
(2)設直線與圓交于兩點,那么以為直徑的圓能否經(jīng)過原點,若能,請求出直線的方程;若不能,請說明理由.
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【題目】某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評,根據(jù)男女學生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數(shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人,試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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